Обзор дисциплины «Вычислительная математика»

Семестр: 4-ый,    Трудоёмкость: 144 часов,     Контроль: экзамен.


Цели дисциплины

Ознакомить студентов с математической постановкой и методами решения широкого круга задач, важных в практической работе, научить их проводить сравнительный анализ эффективности различных методов в приложении к решению конкретной задачи, выбирать наиболее рациональные методы решения задачи и реализовывать выбранный метод с доведением до формулы, графика, числа и т.п., а также развить навыки практической работы на современной вычислительной технике, научить работе со справочной литературой.

Место дисциплины

Дисциплина входит в вариативную часть профессионального цикла образовательной программы как обязательная дисциплина (Б3.В.ОД.6). Для изучения данной дисциплины студентам необходимо предварительное усвоение следующих разделов математики: линейная алгебра, определители, матрицы и линейные отображения, системы линейных алгебраических уравнений, множества и отображения, пределы и непрерывность функций одной переменной, производные и дифференциалы функций одной переменной, производные и дифференциалы функций одной переменной, приложение дифференциального исчисления к исследованию функций, исследование функций нескольких переменных, неопределенные интегралы функций одной переменной, определённые интегралы функций одной переменной, кратные интегралы, числовые и функциональные ряды.


Результаты освоения дисциплины

В результате изучения данной учебной дисциплины студент:


Содержание основных разделов дисциплины

Цикл лекционных и практических занятий по учебной дисциплине включает следующий перечень тем и их краткое содержание:

Введение и основные понятия

Предмет прикладной математики. Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ. Погрешности вычислений. Источники погрешностей. Приближенные методы. Понятие вычислительного алгоритма. Требования, предъявляемые к алгоритмам. Устойчивость и сложность алгоритма.

Приближение функций

Общая постановка задачи и классификация задач приближения функций. Точечное и интегральное квадратичное приближения, равномерное приближение. Задача интерполирования. Интерполяционная формула Лагранжа. Единственность интерполяционного полинома. Остаточный член интерполяционной формулы. Конечные и разделённые разности, их свойства. Интерполяционные формулы Ньютона. Интерполирование с помощью кубических сплайнов. Сеточные функции и действия над ними.

Численные методы линейной алгебры

Классификация методов. Метод Гаусса и его модификации. Схема Жордана. Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы. Методы Леверье и Д.К.Фаддеева. LU - разложение матрицы. Ортогонально треугольное разложение матриц. Метод квадратного корня.

Приближённое решение нелинейных уравнений и систем

Отделение корней. Методы хорд, Ньютона, комбинированный и итераций. Условия применимости. Оценка погрешности. Методы Ньютона и итераций для систем нелинейных уравнений.

Численное интегрирование и дифференцирование

Приближенное вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, парабол). Оценки погрешности. Правило Рунге. Формулы численного дифференцирования и их погрешности.

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Приближённое решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Многошаговые разностные схемы. Разностные схемы для кусочно-линейных дифференциальных систем; интегрирование жёстких систем. Устойчивость разностных схем.

Практические (лабораторные) занятия:

Погрешности вычислений. Знакомство с работой в компьютерном классе с программой MathCad.

Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа.

Конечные и разделённые разности Интерполяционные формулы Ньютона.

Приближение функций с помощью кубических сплайнов.

Решение системы линейных алгебраических уравнений и нахождение обратной матрицы. Метод Гаусса и схема Жордана.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы. Методы Леверье и Д.К.Фаддеева.

LU - разложение матрицы. Ортогонально треугольное разложение матриц. Метод квадратного корня.

Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Методы: биекций, хорд, касательных, комбинированный и итераций.

Приближенное решение систем нелинейных уравнений. Методы Ньютона и итераций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Оценки погрешности.

Численное дифференцирование.

Приближенное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка.

Приближенное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей.


Курсовая работа по дисциплине

Курсовая работа представляет собой решение некоторой конкретной технической задачи, предусматривающей реализацию и исследование математической модели реального физико-химического или технологического процесса и охватывающей все основные разделы курса. Выполнение курсовой работы преследует цель углубить и закрепить знания, полученные студентами при изучении теоретического материала, и предполагает обязательное использование вычислительной техники (персональных компьютеров).

Каждый студент получает свой вариант исходных данных по предложенной теме. В ходе работы требуется выполнить следующие этапы:


Список литературы по дисциплине

    Основная литература:

  1. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова; под ред. Б. П. Демидовича. - 4-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008. - 400 с.
  2. Долгополов, Дмитрий Владимирович. Методы нахождения собственных значений и собственных векторов матриц: методические указания / Д. В. Долгополов; СПбГТИ(ТУ). Каф. прикл. математики. - СПб., 2005. - 39 с.
  3. Дополнительная литература:

  4. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики: учебное пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон. - 6-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2007. - 664 с.
  5. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие / Н. В. Копченова, И. А. Марон. - 2-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008. - 367 с.
  6. Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах : учебное пособие для втузов / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. - 3-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2008. - 480 с.
  7. Устинов, С. М. Вычислительная математика: учебное пособие для вузов по направлениям подготовки 220100 "Системный анализ и управление" и 230100 "Информатика и вычислительная техника" / С. М. Устинов, В. А. Зимницкий. - СПб. : БХВ - Петербург, 2009. - 330 с.
  8. Волков, В.А. Численные методы: учебное пособие / Е. А. Волков. - 5-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008. - 248 с.
  9. Жидков, Е.Н. Вычислительная математика: учебное пособие для вузов по направлениям "Информатика и вычислительная техника", "Информационные системы" / Е. Н. Жидков. - М. : Академия, 2010. - 200 с.
  10. Вспомогательная литература:

  11. Бахвалов, Н. С. Численные методы: учебное пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.
  12. Лукина, Марина Владимировна. Методы приближённых вычислений: методические указания / М. В. Лукина; СПбГТИ(ТУ). Каф. прикл. математики. - СПб., 2002. - 40 с.
  13. Долгополов, Дмитрий Владимирович. Реализация численных методов в системе МаthCAD. методические указания / Д. В. Долгополов; СПбГТИ(ТУ). Каф. прикл. математики. - СПб., 2000. - 78 с.

Материально-техническое обеспечение дисциплины

Классы 1, 4, 5, 6, 9 (кафедры системного анализа), Microsoft Windows 7, Internet Explorer, Microsoft Visual Studio 2010, Microsoft Word 2010, Microsoft PowerPoint 2010


Вернуться к списку дисциплин бакалавриата

Страничка разработчика УМК/РПД дисциплин