Обзор дисциплины «Прикладная математика»


Цели дисциплины

Целью дисциплины является ознакомить студентов с основами теории вероятностей и математической статистики, математической постановкой и численными методами решения задач, важных в практической работе инженера, научить их проводить сравнительный анализ эффективности различных методов в приложении к решению конкретной задачи, выбирать наиболее рациональные методы решения задачи и реализовывать выбранный метод, а также развить навыки практической работы на современной вычислительной технике, научить работе со справочной литературой.


Результаты освоения дисциплины

В результате изучения данной учебной дисциплины студент:


Содержание основных разделов дисциплины

Цикл лекционных и практических занятий по учебной дисциплине включает следующий перечень тем и их краткое содержание:

Случайные события, операции над событиями

Вероятность событий и способы ее определения. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности и теорема гипотез (Байеса). Независимые испытания. Схема испытаний Бернулли, формула Бернулли

Случайные величины, определение и примеры случайных величин

Функция распределения, её свойства. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и ее свойства. Важнейшие числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, их свойства. Понятие о начальных и центральных моментах. Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Понятие о нормальном законе распределения, его роль и место в теории вероятностей. Системы случайных величин (случайные векторы). Дискретные и непрерывные системы случайных величин. Законы распределения системы. Свойства законов распределения. Независимость случайных величин. Числовые характеристики системы случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства. Условные законы распределения. Условное математическое ожидание. Понятие о функции регрессии

Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме

Предмет, задачи и основные понятия математической статистики

Выборочный метод. Вариационный ряд и выборочная функция распределения. Оценивание параметров закона распределения. Общие требования к оценкам. Состоятельные, несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод моментов. Оценивание числовых характеристик системы двух случайных величин. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Понятие о распределениях Стьюдента и хи-квадрат. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины

Задача регрессии

Оценивание коэффициентов и функции регрессии по методу наименьших квадратов. Построение доверительных интервалов для коэффициентов и значений функции регрессии

Проверка статистических гипотез, примеры

Проверка статистических гипотез, примеры. Общая схема проверки гипотез. Критическая область, уровень значимости. Ошибки первого и второго рода. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нормально распределенных случайных величин и гипотезы о виде закона распределения. Проверка гипотезы об адекватности моделей в задаче регрессии

Приближенное решение нелинейных уравнений и систем

Отделение корней. Методы бисекции, хорд, Ньютона и итераций. Комбинированный метод Решение систем уравнений. Метод Гаусса для линейных систем. Методы Ньютона и итераций для систем нелинейных уравнений

Приближение функций. Общая постановка задачи и классификация задач приближения функций.

Точечное и интегральное квадратичное приближения, равномерное приближение. Задача интерполирования. Интерполяционная формула Лагранжа. Единственность интерполяционного полинома. Интерполирование с помощью кубических сплайнов.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Оценки погрешности. Правило Рунге

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи. Аналитические методы: последовательных приближений и степенных рядов. Численные методы: Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка. Оценка погрешности. Решение краевых задач. Методы Галеркина и конечных разностей

Содержание лабораторных работ

Теория вероятностей:

Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Операции над событиями

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Формула полной вероятности. Теорема гипотез Байеса.

Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли

Дискретные случайные величины.

Непрерывные случайные величины

Нормальный и другие законы распределения. Дискретные системы случайных величин

Математическая статистика:

Статистическое определение вероятности. Частота как состоятельная оценка вероятности (теорема Бернулли)

Оценивание параметров закона распределения. Выборочная функция распределения. Метод моментов. Оценивание числовых характеристик системы случайных величин

Задача регрессии. Метод наименьших квадратов

Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нормально распределенных случайных величин

Методы приближенных вычислений:

Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления, хорд, касательных, комбинированный и метод итераций

Приближенное решение систем нелинейных уравнений, методы Ньютона и итераций

Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполирование с помощью кубических сплайнов

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы степенных рядов и последовательных приближений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка


Курсовая работа по дисциплине

Курсовая работа представляет собой решение некоторой конкретной технической задачи, предусматривающей реализацию и исследование математической модели конкретного физико-химического или технологического процесса и охватывающей все основные разделы курса. Используются эмпирические и теоретические методы построения математической модели. Реализация математической модели осуществляется приближённо-аналитическими и численными методами. Выполнение курсовой работы преследует цель углубить и закрепить знания, полученные студентами при изучении теоретического материала. Выполнение курсовой работы предусматривает обязательное использование вычислительной техники


Самостоятельная работа по дисциплине

Самостоятельная работа включает в себя более углубленную проработку лекционного материала с использованием учебников и учебных пособий и подготовку к практическим и лабораторным занятиям. Для самостоятельной работы предлагается следующий набор тем:


Список литературы по дисциплине

    Основная литература:

  1. Коршунов, Д.А. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей : учебное пособие / Д. А. Коршунов, С. Г. Фосс, И. М. Эйсымонт. - СПб. : Лань, 2004. - 191 с.
  2. Гмурман, В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Высшее образование, 2006. - 479 с.
  3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Высшее образование, 2006. - 476 с.
  4. Федоткин, М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики : учебник для вузов по спец. "Прикладная математика и информатика" и по направлению "Прикладная математика и информатика" / М. А. Федоткин. - М. : Высш. шк., 2006. - 368 с.
  5. Ржонсницкий, А.В. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие для заочной формы обучения / А. В. Ржонсницкий ; СПбГТИ(ТУ). Каф. высш. математики. - СПб. : 2009. - 58 с.
  6. Печинкин, А.В. Теория вероятностей : учебник для втузов / А. В. Печинкин, О. И. Тескин, Г. М. Цветкова и др.; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. - 4-е изд., стер. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006. - 455 с.
  7. Ращиков, В.И. Численные методы решения физических задач : учебное пособие / В. И. Ращиков, А. С. Рошаль. - СПб. : Лань, 2005. - 205 с.
  8. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения : учебное пособие /Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова; под.ред. Б.П. Демидовича. - 4-е изд., стер. - СПб. ; М. ;. Краснодар : Лань, 2008. - 400 с.
  9. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие / Н. В. Копченова, И. А. Марон. - 2-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008. - 367 с..
  10. Волков, Е.А. Численные методы : учебное пособие / Е. А. Волков. - 5-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008. - 248 с. Численные методы в примерах и задачах : учебное пособие для втузов / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. - 3-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2008. - 480 с.
  11. Срочко, В.А. Численные методы. Курс лекций : учебное пособие для вузов по спец. 010200 "Прикладная математика и информатика" и по направлению 510200 "Прикладная математика и информатика" / В. А. Срочко. - СПб. ; М.; Краснодар : Лань, 2010. - 202 с.
  12. Аджемян, Л.В. Задачи по теории вероятностей : учебное пособие / Л. В. Аджемян, В. П. Гончарук, А. Г. Курицын и др.; под ред. А. Г. Курицына, В. О. Полякова ; СПбГТИ(ТУ). Каф. прикл. математики. - СПб. : 2008. - 88 с.
  13. Жидков, Е.Н. Вычислительная математика : учебное пособие для вузов по направлениям "Информатика и вычислительная техника", "Информационные системы" / Е. Н. Жидков. - М. : Академия, 2010. - 200 с.
  14. Курицын, А.Г. Курсовая работа по теории вероятностей и математической статистике : методические указания / А. Г. Курицын ; СПбГТИ(ТУ). Каф. прикл. математики. - СПб. : 2010. - 14 с.
  15. Дополнительная литература:

  16. Соколов, Г.А.учебное пособие по теории вероятностей и математической статистике (законы распределения) : учебное пособие для вузов по направлению "Экономика" и эконом. специальностям / Г. А. Соколов, Н. А. Чистякова. - М. : Высш. шк., 2007. - 248 с.
  17. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учебное пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 4-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2007. - 491 с.
  18. Власова, Е.А. Приближенные методы математической физики: учебник для втузов / Е. А. Власова, В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. - 2-е изд., стер. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. - 699 с.
  19. Вспомогательная литература:

  20. Бахвалов, Н.С. Численные методы: учебное пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.
  21. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2003. - 479с.
  22. Булинский, А.В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. - М. : Физматлит, 2003. - 399 с.
  23. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов по экономическим спец. / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ, 2003. - 543
  24. Ватутин, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах / В. А. Ватутин, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, В. П. Чистяков. - М. : АГАР, 2003. - 326 с. - Библиогр.: с. 322.
  25. Поляков В.О., Тихонов П.А. Статистические методы в обработке результатов физико-химического эксперимента: Методические указания / В. О. Поляков; СПбГТИ. - СПб., 2003.- 24 с

Материально-техническое обеспечение дисциплины

Классы 1, 4, 5, 6, 9 (кафедры системного анализа), Microsoft Windows 7, Internet Explorer, Microsoft Visual Studio 2010, Microsoft Word 2010, Microsoft PowerPoint 2010


Вернуться к списку дисциплин бакалавриата

Страничка разработчика УМК/РПД дисциплин